di  -  lunedì 25 ottobre 2010

Il 14 Ottobre 2010 il matematico Benoit Mandelbrot è venuto a mancare all’età di 85 anni.

Forse non tutti conoscono il suo nome o le formule matematiche che ha studiato nel corso della sua vita, ma di sicuro tutti quanti hanno visto almeno una volta una raffigurazione della matematica che Mandelbrot ha descritto: i frattali. Tutti noi ne abbiamo sentito parlare e li abbiamo osservati affascinati, magari impostandoli come screensaver per il nostro computer.

Un po’ come la sua creazione, la geometria frattale, anche Mandelbrot stesso rappresenta l’anello di congiunzione tra la matematica pura, l’astrazione intelletuale, e la vita di tutti giorni. Anzi, direi proprio con la natura stessa. Non sempre, infatti, i matematici hanno il dono della comunicazione e la capacità o la voglia di far comprendere ed apprezzare il proprio lavoro al resto dell’umanita. Mandelbrot era però uno di questi. Molto fiero del proprio lavoro, non perdeva occasione di parlarne e, possibilmente, di infarcire il racconto delle tante esperienze che ha avuto nel corso della sua lunga vita, come racconta un altro celebre matematico comunicatore, Piergiorgio Odifreddi.

Tale padre, tali figli, anche i frattali portano nella vita di tutti i giorni il sapore della matematica più astratta. L’idea, nel suo aspetto più  rappresentativo, è la ripetizione di una figura geometrica all’infinito. Ingrandendo l’immagine all’infinito si ritroverà sempre la stessa figura, ripetuta perfettamente ogni volta. Questo principio è detto di auto-similarità.

Una delle cose più sorprendenti di questo concetto è l’incredibile semplicità della descrizione matematica. Pur nascondendo concetti, a mio avviso (ma ammetto di non essere mai stata gran che in matematica) complessi, come l’utilizzo delle dimensioni di Hausdorff, la definizione puramente matematica dei frattali rimane estremamente semplice. Il tipo specifico di frattali descritti da Madelbrot, quelli che appaiono su poster e screensaver, sono detti “Insieme di Mandelbrot”. Un numero c fa parte di questo insieme quando la serie, a partire da zero, definita come  zn+1zn2c non diverge all’infinito.

Se per esempio consideriamo c=1. Avremo la serie: 0, 1, 2, 5, 26, …. eccetera eccetera. Questa serie aumenta all’infinito, ovvero “diverge”. Quindi il numero c=1 NON fa parte dell’insieme di Mandelbrot.

Esistono però dei numeri di natura diversa, chiamati “numeri complessi”. I numeri complessi sono quelli il cui quadrato da un numero negativo. La radice quadrata di -1 si chiama, per definizione, i. Avremo quindi che i*i=-1. Se prendiamo quindi il numero c=i, osserviamo che la serie diventa: 0, i, (−1 + i), −i, (−1 + i), −i, … Ovvero si ripete all’infinito in un circolo chiuso. i, quindi, fa parte dell’insieme di Mandelbrot, ed è alla base di figure come quella animata qui a fianco.

Fin da quando ho cominciato a studiare la geometria euclidea, a scuola, mi sono sempre chiesta una cosa: come è possibile che la mente umana venga fuori con dei concetti apparentemente astratti e, in un certo senso, campati in aria (per l’appunto, i numeri complessi), e poi dopo qualche anno venga fuori che questi concetti non sono per niente astrusi, ma descrivono alla perfezione un fenomeno naturale? Guardate il cavolfiore nella prima immagine! Una serie di numeri immaginari ne descrive alla perfezione la forma. Lo stesso vale per un fiocco di neve, un cristallo o addirittura la struttura dei vasi sanguigni nel nostro corpo!

Mandelbrot doveva essere altrettanto affascinato da come la matematica abbia così tanto successo nel descrivere il mondo che ci circonda. Ha infatti scritto diversi libri , come The Fractal Geometry of Nature (1982) e The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward (2004), in cui descrive applicazioni molto reali della teoria dei frattali. È addirittura possibile scaricare in versione pdf un suo articolo in cui spiega da un punto di vista matematico lo sviluppo della linea costiera della Gran Bretagna.

Il lavoro di Mandelbrot non è sicuramente l’unico, nella storia della matematica o della fisica teorica, che trova un’applicazione pratica di grande importanza. Rimane, però, uno degli esempi più evidenti e di maggior impatto visivo. Un po’ come l’artista olandese Escher, Mandelbrot ha capito che il modo migliore per descrivere l’incredibile complessità dell’Universo è semplificarne la natura e presto si arriva alla conclusione che qualsiasi oggetto (o situazione) complessa è in realtà composta da elementi in sé molto semplici. Vi consiglio però di ascoltare questo concetto direttamente dalla voce di Mandelbrot, in una lezione che ha dato in un TED Talk.

12 Commenti »

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  • # 1
    [D]
     scrive: 

    Effettivamente tutta la natura è un grosso frattale. Qualsiasi pianta guardiamo, notiamo che le foglie più piccole sono identiche alle più grandi o che c’è proprio uno schema “di costruzione”.
    Prendiamo la pianta di aloe: ai bordi dei suoi fogliaggi “spessi” notiamo come delle punte e curiosamente si nota che crescono a posizioni sfalsate, come se ci fosse un pennello che va prima a sinistra e poi a destra e così all’infinito. I cactus la stessa cosa, dal centro della pianta verso l’esterno, sempre la stessa forma. Se potessimo prendere una pianta e metterla in un ambiente sterile o meglio che presenta solo elementi selezionati alla sua crescita, quindi niente malattie, batteri, parassiti, eventi vari ed eventuali tipo sbalzi di temperatura e umidità, ci troveremmo ad avere qualcosa di simile ad un solido regolare (il termine non è proprio quello giusto ma non so come definire la perfetta distanza che si verificherebbe tra i vari pezzi della pianta stessa).

  • # 2
    G
     scrive: 

    beh si, la natura è un grosso frattale, a livello macrospico almeno… poi la materia esplorata nel suo intimo fa altre cose.

    Molti oggi usano frattali senza neanche saperlo, o per lo meno senza aver una vera nozione di quel che siano. Basta prendere un qualsiasi programma di grafica 3D e dilettarcisi un po’ per usare tonnellate di algoritimi frattali… e rendersi conto che puoi simularci ogni cosa.

    L’insieme di Mandelbrot ha appassionato matematici, informatici, grafici… ho letto sulla repubblica che pur non direttamente insignito del più importante premio per la matematica, Mandelbrot era orgoglioso di quelli dati a lavori che contemplavano l’uso di frattali, quindi senza la solita invidia e assoluta vanità di molti scienziati vacui e improduttivi… doveva avere anche una grande personalità.

    Fate bene a ricordarlo.

  • # 3
    n0v0
     scrive: 

    il broccolo! XD

    stasera me lo faccio stufato. Bell’ articolo, conoscevo il personaggio e la sua materia. Si può dire che un bel pezzo di modernità lo si deve anche a lui.

  • # 4
    Guido
     scrive: 

    Preciso subito di non essere un matematico, ne uno storico ma, mai nessuno ha analizzato i famosi corsi e ricorsi storici con le equazioni di Mandelbrot ?

  • # 5
    supertigrotto
     scrive: 

    I frattali!
    Mi ricordo che mettendo un codice in CHIPS CHALLENGE per atari linx,si poteva navigare nei frattali,la prima volta che li vidi restai di stucco!
    Mi pareva che bisognava mettere il nome MAND.
    Quando chiesi ad un professore cosa erano,mi rispose che erano calcoli matematici fatti dal computer che si traducevano in immagini.

  • # 6
    facendis
     scrive: 

    Quando sono andato in Sardegna mi ricordo che guardavo le spume che il traghetto creava con la prua e mi chiedevo se erano davvero una diversa dall’ altra o , in qualche misura si ripetessero , un po come nei videogames.
    Dico questo perchè sono convinto che l’ universo od il nostro mondo non è affatto infinito anzi… tende ad essere spilorcio come un genovese o se volete scozzese.
    Tutto al risparmio…ed i frattali sono un semplice esempio di questa filosofia.
    Del resto tutti sappiamo che ogni particella a riposo tende ad assumere lo stato di minima energia, esempio che io uso per giustificare la mia endemica pigrizia.
    Se ci pensate bene anche le leggi della natura rispondono a questo principio, infatti senza di queste sarebbe possibile tutto, una infinità di configurazioni e quindi uno spreco di risorse incredibile!
    Poche regole e tutto funziona egregiamente ed al massimo risparmio.
    Per questi motivi non credo a teorie dell’universo estremamente complesse ( il rasio di Occam deve pur aver insegnato qualche cosa) od alla evoluzione Darwiniana.
    Vi immaginate di migliaia di miliardi di assemblamenti cellullari sperando che uno alla fine funzioni?
    Una ditta , e l’universo è paragonabile ad una ditta ( se va in deficit chiude) con una filosofia di questo tipo chiuderebbe dopo pochi giorni.
    Anche il limite della velocità della luce ha a che fare con il risparmio a parer mio, infatti a che mi servirebbe illuminare tutta la tratta autostradale da Milano a Napoli de per me basta aver visione del tratto che percorro al momento?
    Comunque sono solo mie idee
    Saluti a tutti
    De Facendis

  • # 7
    G
     scrive: 

    per facendis

    evidentemente non c’era proprio nessuno a sperare che un assemblamento cellulare tra miliardi “funzionasse”, ma alla fine uno ha funzionato, e a molti di coloro che ne sono derivati questa cosa non piace affatto (chissà perchè poi…e con quale coraggio costoro guardandosi allo specchio vedono un miracolo… mah), e hanno di conseguenza disperatamente bisogno di pensare che non sia stato il caso ma la volontà di dio… una cosa molto arbitraria.

    e poi non fu mica uno spreco… il principio di minima azione vigeva comunque :)

  • # 8
    facendis
     scrive: 

    Per G
    Guarda che io non ho parlato di Dio ho solo espresso un ragionamento logico almeno per me.
    Forse allora anche le leggi che governano l’universo sono il risultato di milioni di tentativi,
    noi non lo sappiamo, ma la velocità della luce è passata tra miliardi di possibili valori prima di assestarsi su quella che è ora!
    Ma chissà… forse domani stesso farà un altro tentativo e si spostera ad un altro valore, sempre che noi lo si possa misurare correttamente, non è detto infatti che oggi stesso la matematica provi un altro sistema ancora piu efficiente e quindi 2+2 fara 5 e non piu 4.
    Comunque ogniuno è libero di pensarla come meglio crede.
    Tanti saluti

  • # 9
    facendis
     scrive: 

    scusate se ritorno sul tema ma, secondo una certa filosofia, sembrerebbe che l’evoluzione umana si sia fermata qui.
    Cioè …dal verme , o come chiamar si voglia, siamo giunti all’ uomo: tappa finale?
    Oppure dobbiamo aspettarci altre evoluzioni casuali , non so… umani con quattro gambe ed otto braccia per poter poter correre piu veloci e nello stesso tempo digitare perfettamente in internet, fumare ed inviare sms, naturalmente il cellulare è inpiantato dalla nascita nel palmo della mano ma intercambiale secondo la moda.
    Magari oggi Darwin, potrebbe postulare come specie evolutiva anche l’ uomo antenna come perfetta evoluzione delle reti wi-fi od addirittura con orecchie sviluppate in modo di poter ricevere i segnali satellitari, naturalmente con smart card aggiuntiva, non dico dove: del resto ogni evoluzione ha il suo prezzo!
    In quanto a quando mi guardo allo specchio ( molto raramente) preferisco pensare di essere una cosa di speciale ( a torto od a ragione) e diverso da una ameba od affiliati.
    Ma probabilmente c’è gente che si accontenta!
    Tanti saluti

  • # 10
    Notturnia
     scrive: 

    ricordo quando lasciavo il vecchio 286 per 10-12 ore tutta la notte a creare un frattale da una variante di mandelbrot sperando che quello che avrei visto a schermo e poi stampato fosse carino..
    quello nell’immagine è forse il frattale più famoso ma modificando le costanti delle sue formule se ne possono creare infiniti.. ed era li il bello farne apparire di carini.. “zoommarli” alla ricerca di stranezze e poi stamparle.. un processo che con un 286 richiedeva anche settimane.. ma che belle quelle stampe..

    grazie Mandelbrot anche del tempo che mi hai fatto passare con il babbo a spulciare i tuoi frattali..

  • # 11
    Cesare Di Mauro
     scrive: 

    @facendis: io preferisco pensare che abbiamo avuto parecchia fortuna (per non usare un termine volgare).

    Dal caos all’uomo. Ce ne vuole veramente parecchia, sicuramente, ma… siamo qui.

    “Godi più che puoi…”

  • # 12
    Alessandro Zivelonghi
     scrive: 

    Ciao Eleonora, grazie x l’articolo.

    Vorrei solo integrare una nota storica (facilmente verificabile sul web).
    Dietro l’insieme di Mandelbrot, come spesso nel caso di idee geniali portate a maturazione, c´é un lavoro preliminare importante di altri, che poi vengono spesso dimenticati.

    La formula che sta alla base del Mandelbrot Set (ed in particolare la sua relazione ricorsiva) si puo trovare ben prima della comparsa di Mandelbrot negli studi di dinamiche complesse di Pierre Fatou e Gaston Julia, due importanti matematici francesi appartenenti alla grande scuola francese che aveva come punto di riferimento l’Ecole Normale Superiore (per chi non lo sapesse, la primogenita delle due Scuole Normali di cui la seconda é la nostra Normale di Pisa).
    Inoltre, il primo disegno al calcolatore del Mandelbrot Set fu pubblicato due anni prima di Mandelbrot stesso nel 78’ da Brooks and Matelski, che peró non approfondirono il suo studio e si limitarono a una visualizzazione del primo livello in cui mancano due importanti proprieta (i filamenti e le isole) e non viene fatto cenno dell’autosimilaritá.
    Mandelbrot oltre a visualizzare il set indipendentemente due anni dopo, ne mise in luce molte importanti proprieta (in particolare l’autosimilaritá) dando il via a una sistematica disciplina (la geometria frattale appunto).

    Il grande merito di Mandelbrot fu di intuire la potenzialitá di usare lo strumento che stiamo usando in questo momento, il calcolatore, per visualizzare il frattale (ed in particolare visualizzarne l’autosimilaritá mentre Fatou e Julia si dovettero limitare alla ricorsivitá algebrica della formula) e sistematizzare quello che vide in una solida teoria matematica (io penso poi che abbia avuto pure il merito informatico di tradurre in un buon codice di programmazione e visualizzazione la formula del set). Da qui poi la sua seconda grande intuizione di “vedere” nei frattali, una rappresentazione di fenomeni naturali, intuizione che spostava il campo di studio dalla pura matematica formale alla studio di fenomeni concreti e “reali”. Ma il suo grande successo é sicuramente legato all’ascesa del computer.
    Come ricorda lui stesso in un intervista, Mandelbrot si trovó al momento giusto (dopo i lavori teorici preliminari di Fatou e Julia erano stati nel frattempo dimenticati) e nel posto giusto (i laboratori IBM, luogo intellettualmente piu libero e soprattutto dove i ricercatori come Mandelbrot potevano usufruire dei migliori computers in circolazione allora).
    Il suo puó infatti essere considerato anche come un lavoro pioneristico di computer grafica.

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